PENALARAN MATEMATIKA

Istilah penalaran sebagai terjemahan dari “reasoning” yang didefinisikan sebagai proses pencapaian kesimpulan logis berdasarkan fakta dan sumber yang relevan (Shurter dan Pierce dalam Soemarmo, 1987: 31), pentransformasian yang diberikan dalam urutan tertentu untuk menjangkau kesimpulan ( Galloti dalam Matlin, 1994).

Secara garis besar penalaran dibagi ke dalam dua jenis, yaitu:

1.      Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah suatu proses berpikir yang berupa penarikan kesimpulan umum (berlaku untuk semua/banyak) atas dasar pengetahuan tentang hal yang khusus (fakta). Artinya dari fakta-fakta diturunkan suatu kesimpulan. Penalaran induktif melibatkan tentang keteraturan, misalnya kesamaan dari contoh-contoh yang berbeda atau kesamaan pola gambar. Penalaran induktif juga dapat dilakukan dalam kegiatan nyata, contohnya melalui suatu permainan atau melakukan sesuatu secara terbatas dengan mencoba-coba, contohnya pada permainan menara hanoi. Oleh karena itu, penalaran induktif merupakan proses penarikan kesimpulan dari kasus-kasus individual nyata menjadi kesimpulan yang bersifat umum.

Kesimpulan umum dari suatu penalaran induktif tidak merupakan bukti. Hal tersebut dapat dipahami karena aturan umum yang diperoleh ditarik dari pemeriksaan beberapa contoh kusus yang benar, tetapi belum tentu berlaku untuk semua kasus. Kesimpulan tersebut boleh jadi valid (sah)  pada contoh yang diperiksa, tetapi bisa jadi tidak dapat diterapkan pada keseluruhan contoh. Dengan demikian  dalam penalaran induktif dapat dihasilkan suatu kesimpulan yang benar berkenaan dengan contoh khusus yang dipelajari, tetapi kesimpulan tersebut tidak terjamin untuk generalisasi.

2.      Penalaran Deduktif

Deduktif atau deduksi adalah salah satu bentuk pemikiran yang biasanya digunakan untuk menentukan pernyataan-pernyataan yang terungkap atau bisa juga untuk menyatakan ide yang sama dengan bentuk sebaliknya. Ini adalah bentuk pemikiran yang kesimpulannya muncul secara signifikan setelah ada pernyataan-pernyataan. Pernyataan dalam pemikiran tersebut disebut premis-premis. Jika hubungan antara premis-premis menghasilkan kesimpulan (konklusi) maka hubungan tersebut dikatakan valid/sah. Validitas suatu kesimpulan timbul dari bentuk argumen dan bukan dari kebenaran premis-premis. Argumen deduksi disebut valid/sah, bila premis-premisnya benar maka kesimpulannya benar dan bila premisnya salah maka kesimpulannya salah.

Bukti deduktif dapat menentukan apakah suatu konjektur yang ditarik melalui intuisi atau induktif secara logis konsisten dan apakah itu hanya untuk kasus-kasus tertentu atau kasus yang lebih umum. Meskipun demikian, penalaran deduktif memiliki keterbatasan.

Penalaran deduktif menjamin kesimpulan yang benar jika premis dari argumennya benar, dan argumennya valid (logis). Namun demikian, boleh jadi benar hanya dalam situasi tertentu.

Salah satu tujuan pembelajaran adalah untuk membantu siswa agar mempunyai keterampilan penalaran induktif dan dan deduktif  baik secara individu maupun kelompok dalam bidang matematika. Seorang matematikawan atau siswa yang mengerjakan matematika sering membuat suatu konjektur dengan menggeneralisasikan suatu pola dari pengamatan terhadap kasus-kasus khusus (penalaran induktif), selanjutnya konjektur ini diuji dengan membangun sebuah pembuktian yang logis atau pembuktian dengan counter example (penalaran deduktif). Dengan aktivitas ini diharapkan para siswa dapat memahami peran kedua bentuk penalaran tersebut baik dalam matematika maupun dalam situasi-situasi di luar matematika.

Menurut NCTM, standar penalaran yang harus dikuasai siswa sekolah antara lain:

1.   Mengingat dan menggunakan penalaran deduktif dan induktif.

2. Memahami dan menggunakan proses penalaran dengan perhatian tertentu untuk penalaran spasial (tilikan ruang) dan penalaran dengan proporsi dan grafik.

3.      Membuat dan mengevaluasi konjektur dan argumen matematika

4.      Memvalidasi berpikir mereka sendiri.

5.      Menyadari kegunaan dan kekuatan penalaran sebagai bagian dari matematika.

Sejalan dengan hal tersebut Soemarmo (1987) menyatakan, hendaknya guru berusaha agar siswa tidak hanya terampil mengaplikasikan konsep  atau rumus saja, tetapi lebih didorong kearah pencapaian tingkat penalaran yang lebih tinggi. Contoh soal yang beragam, tidak rutin, dan contoh soal aplikasi konsep atau rumus dalam konsep matematika lain atau bidang studi lain akan membantu siswa memahami inter relasi konsep-konsep.

Menurut Glade dan Citron (Dahlan, 2004: 43), terdapat enam keterampilan bernalar yang dapat dikembangkan dalam proses mental, yaitu:

a.       Thing-making, yaitu pengamatan dan proses identifikasi sesuatu melalui nama sebuah kata (word names), simbol, atau bayangan mental (mental images). Contohnya kata “bank”. Kata “bank” menurut struktur dan indentifikasi kita tempat menyimpan uang, tetapi kita dapat mengidentifikasi bahwa kata itu dapat berupa “bank” suatu pinggir sungai atau dapat juga sebagai skull-and-crossbone yang jadi simbol bahaya. Keterampilan ini didasarkan atas pengembangan perbendaharaan kata (vocabulary), penyimpulan pada kontek, dan semua komunikasi interaksi yang terjadi karena hal tersebut tergantung pada referensi kata-kata, pengetahuan, dan asosiasi seseorang.

b.      Qualification, yaitu penganalisisan karakteristik sesuatu. Contohnya penganalisisan yang menetapkan bahwa sebuah pulpen panjangnya 6 inchi, berbentuk silinder, halus atau licin, mudah digunakan dan menghasilkan warna tinta yang biru. Orang Amerika mencirikannya sebagai demokratis, besar, dan kuat. Dari hal tersebut, akan lebih baik apabila kita memperhatikan karakteristiknya, lebih baik kita memahaminya, mencocokannya untuk suatu keinginan, membandingkan dan mengkontraskannya dengan yang lain dan mengubah atau mengembangkannya secara kreatif.

c.       Classification, yaitu pengaturan sesuatu ke dalam kelompok berdasarkan karakteristik yang mirip. Contohnya pengklasifikasian kata alat tulis “pen” dengan pensil, mesin tik, dan program pengolah kata (MS.Word, WS, dan lain-lain) sebagai alat tulis; pengelompokan Amerika dengan Inggris dan Prancis sebagai negara Barat; pengelompokan pernyataan khusus dibawah suatu pemikiran dan ide umum. Lebih baik kita mengklasifikasi, lebih baik kita mengatur sebarang kumpulan data dan fakta dari konsep yang umum kemudian menalarnya dengan logika silogistik.

d.      Structure Analysis, yaitu menganalisis dan menciptakan suatu keterhubungan (relationship). Contohnya menganalisis kursi berdasarkan struktur wujudnya yang tersusun dan didefinisikan sebagai sesuatu yang mempunyai sandaran, dua buah pegangan, dan empat kaki; suatu sel kering yang berongga, elektroda unsur seng, dan elektroda tembaga; sesuatu yang mudah untuk diciptakan dengan pengurutan paragraf masing-masing (individual). Kelengkapan penganalisaan dan penciptaan bagian-bagian yang berhubungan atas bagian-bagian yang ditopang oleh sesuatu komposisi dan struktur secara menyeluruh, memunculkan hal-hal yang pokok, dan membangun kemampuan penalaran spatial.

e.       Operation Analysis, yairu pengurutan (sequencing) sesuatu, hal, atau pikiran-pikiran ke dalam urutan secara logis. Contohnya pengurutan orang dari yang tinggi ke yang pendek, pengurutan kriteria dari  sangat penting ke yang kurang penting, perencanaan langkah-langkah untuk suatu percobaan dan menyelesaikan masalah. Lebih logis kita mengurutkan sesuatu, lebih baik kita memahami sederetan dari semua tipe, mengikuti langkah-langkah sebarang proses, mengidentifikasi hubungan sebab akibat, dan membuat rencana serta prediksinya.

f.       Seeing Analogies, yaitu pengenalan hubungan-hubungan yang sama. Contohnya pengenalan bahwa seorang penulis menggunakan sebuah “pen” sebagai seorang pelukis yang menggunakan kuas cat. Keterampilan ini merupakan aplkasi dari informasi yang dihasilkan oleh semua keterampilan berfikir yang lain. Keterampilan ini merupakan dasar untuk pemberian wawasan dalam pemecahan masalah ketika kita mengingat masalah yang sama, sebagai metaphor yang lengkap ketika kita ingat akan gambaran sejenis dan untuk memahami konsep ratio dan perbandingkan pada matematika

Dalam pembelajaran penalaran, Glade dan Citron juga memberikan 4 tahapan program pembelajaran penalaran:

          Tahap1. Tahap ini bertujuan untuk membangun kemampuan metakognisi dengan pengembangan pengetahuan anak dari enam dasar keterampilan berpikir dan bagaimana mereka menggunakan keterampilan tersebut untuk berkomunikasi, belajar, menalar dan menyelesaikan masalah. Fokus pada tahap ini adalah membangun kesadaran siswa sehingga proses berpikir siswa secara sistematis turut serta menggunakan enam keterampilan berpikir dan juga mereka dapat belajar untuk menjadi pemikir yang baik.

Tahap 2. Tahap ini bertujuan untuk meningkatkan level dari kecakapan kognisis siswa melalui pelatihan dalam setiap enam dasar kemampuan berpikir sebagai alat untuk berkomunikasi, belajar, bernalar, dan memecahkan masalah. Fokusnya adalah pengembangan kemampuan siswa sehingga melakukan setiap enam kemampuan berpikir ketika dia menyelesaikan suatu masalah.

 Tahap 3. Tahap ini bertujuan mengembangkan siswa untuk mentransfer dan menggunakan ketrampilan berpikir anak untuk belajar, memahami, menganalisis, berkomunikasi dan memecahkan masalah secara sadar. Karena kesadaran penggunaan dan pentranfseran ketrampilan berpikir untuk mempelajari teori tidak muncul secara intuitif atau otomatis, maka perlu dikembangkan aspek materi untuk strategi penalarannya. 

Tahap 4. Tahap ini sebagai refleksi sejauh mana kemampuan berpikir anak dapat diaplikasikan dalam menganalisis, memahami, mengkomunikasikan pemecahan masalah baik yang berkaitan dengan konsep matematika masalah dalam kehidupan sehari-hari

Beberapa indikator mengenai penalaran matematik atau penalaran dalam matematika dalam istilah yang dinyatakan Sumarmo (2004) adalah sebagai berikut:

• Menarik kesimpulan logik
• Memberikan penjelasan dengan mengunakan model, fakta, sifat, dan hubungan
• Memperkirakan jawaban dan proses solusi
• Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematik, menarik analogi dan generalisasi.
• Menyusun dan menguji konjektur
• Memberikan lawan contoh (counter examples)
• Menyusun argumen yang valid